Jan Kubarski

Prof. PŁ.

Autoreferat

Dotyczący rezultatów naukowych po habilitacji

Moje prace dotyczą zagadnień globalnych geometrii różniczkowej, a większość z nich dotyczy funktorów Liego działających z różnych kategorii geometrycznych (grupoidy różniczkowe, wiązki główne, wiązki wektorowe [J.Pradines 1967], TC-foliacje, niedomknięte podgrupy Liego [P.Molino 1977], rozmaitości Poissona [Coste, Dazord, Weinstein 1987], etc.) w kategorię algebroidów Liego. Pierwowzorem jest funktor Liego dla grup Liego. Analogicznie do grup i algebr Liego, algebroid Liego danego obiektu geometrycznego odpowiada za lokalne własności tego obiektu. Jednakże w wielu aspektach ten funktor Liego odpowiada za globalne własności. Taka sytuacja ma miejsce w kontekście klas charakterystycznych – co jest główną myślą przewodnią mojej pracy naukowej począwszy od drugiej połowy lat 80-tych.. Zostało to dla tzw. klas pierwszych przedstawione w pracy habilitacyjnej [17] z roku 1992. Rezultaty pracy habilitacyjnej są przedstawione również w pracach [15] i [19].

Główne tezy pracy habilitacyjnej:

1. Homomorfizm Cherna-Weila spójnej wiązki głównej (grupa strukturalna jest dowolna, t.j. może nie być ani spójna ani zwarta) jest niezmiennikiem algebroidu Liego tej wiązki.

2. Istnieje konstrukcja homomorfizmu Cherna-Weila dla regularnych algebroidów Liego. W miejsce wielomianów niezmienniczych względem jednej algebry Liego trzeba rozważać cięcia niezmiennicze wiązki wielomianów dla stowarzyszonej wiązki algebr Liego.

3. Istnieją algebroidy Liego tranzytywne niecałkowalne (tzn. nieizomorficzne z algebroidem Liego żadnej wiązki głównej) posiadające nietrywialny homomorfizm Cherna-Weila. Przykłady są na gruncie TC-foliacji.

Teza pierwsza częściowo (przy restrykcyjnym założeniu spójności grup strukturalnych) została przedstawiona przez N.Telemana w 1972 r. Z tegoż roku jest też konstrukcja N.Telemana pierwszych klas charakterystycznych dla pewnej klasy rozszerzeń algebr Liego obejmująca tranzytywne algebroidy Liego (kategoria węższa od kategorii regularnych algebroidów Liego).

4. Opuszczenie założenia o spójności grupy strukturalnej okazało się możliwe po zbadaniu zależności między przestrzeniami cięć niezmienniczych względem reprezentacji wiązki głównej P w wiązkę wektorową f a cięciami niezmienniczymi względem pochodnej tej reprezentacji (pochodna ta jest reprezentacją algebroidu Liego A(P) w algebroid Liego A(f) ). Zależność ta uogólnia standardowy rezultat dla reprezentacji grupy Liego w skończenie wymiarową przestrzeń wektorową.

5. Zastosowano otrzymany homomorfizm Cherna-Weila dla algebroidu regularnego do wiązek głównych oraz wiązek wektorowych nad rozmaitością sfoliowaną. Otrzymany tam homomorfizm posiada na ogół szerszą dziedzinę od homomorfizmu uzyskanego przez Moore and Schochet (1988).

Praca [18] jest zapowiedzią cyklu prac ([19], [21], [23], [27]) dotyczących pierwszych i drugich klas charakterystycznych regularnych algebroidów Liego.

Pierwsze klasy charakterystyczne regularnych algebroidów Liego [19], [21], [26].

Praca [21] dotyczy uogólnienia Twierdzenia Botta o znikaniu dla regularnych algebroidów Liego. W poniższym twierdzeniu Pont(A) oznacza algebrę Pontryagina regularnego algebroidu Liego A, tj. obraz homomorfizmu Cherna-Weila dla A.

Twierdzenie [21. Tw. 5.1] . Jeśli A jest regularnym algebroidem Liego nad rozmaitością sfoliowaną (M,F) i istnieje płaska częściowa koneksja l w A nad podfoliacją F'ÌF, wtedy Pont^p(A)=0 dla p³2(q+1), gdzie q=rank(F/F'). Jeśli l dopuszcza bazową koneksję adaptowaną, wtedy Pont ^p(A)=0 dla p³ q+1.

Twierdzenie to zastosowano do TC-filiacji (M,E) [21, Wniosek 6.3] i niedomkniętych podgrup Liego HÌG [21, Tw. 7.11], mianowicie podano topologiczne przeszkody do istnienia pewnych dystrybucji inwolutywnych zawierających E oraz pewnych podalgebr Liego zawierających h (h -- podalgebra Liego podgrupy H ) .

Praca [19] (szerzej niż w pracy habilitacyjnej) dotyczy tzw. tangentialnych pierwszych klas charakterystycznych wiązki głównej P z zadaną foliacją F na bazie. Praca pokazuje [19, Przykład 2.4], że w stosunku do bardzo prostej konstrukcji klas charakterystycznych [bez aparatu algebroidów Liego] wiązki głównej nad rozmaitością sfoliowaną -- zaproponowanej przez C.Moore i C.Schocket w 1988 r -- dziedzina tangentialnego homomorfizmu Cherna-Weila regularnego algebroidu Liego A(P)^F może czasem zawierać więcej elementów niż postulowali C.Moore i C.Schocket. Mogą być mianowicie wśród nich elementy inne niż postaci åfⁱv_i gdzie fⁱ są F-bazowymi funkcjami zaś v_i są wielomianami niezmienniczymi dla strukturalnej grupy Liego.

Praca [26] dotyczy par algebroidów Liego (L,A) nad tą samą rozmaitością, z których A jest regularny zaś L jest dowolny (t.j. L może być nieregularny nad osobliwą foliacją Stefana). Rozważane są tzw. L-koneksje w A, czyli liniowe homomorfizmy L®A komutujące z kotwicami i określony jest homomorfizm Cherna-Weila dla pary (L,A). Zainteresowanie tak szeroko określonymi koneksjami ma swoje źródło w geometrii Poissona [I.Vaisman, L.Fernandes], gdzie rozważa się tzw. kowariantne i kontrawariantne koneksje w rozmaitości Poissona, będące w istocie A(P) lub A(f) koneksjami w nieregularny (na ogół) algebroid Liego T^*M rozmaitości Poissona M. Także, to pojęcie koneksji obejmuje rozszczepienia rozszerzeń algebroidów Liego [badane przez J.Huebschmanna] a także transwersalne koneksje dla rozszerzeń wiązek głównych [badane przez K.Mackenziego]. Skonstruowany homomorfizm Cherna-Weila h_(L,A) pary (L,A) obejmuje jako szczególne przypadki konstrukcje znane wcześniej w szeregu pracach takich autorów jak N.Teleman (1972), K.Mackenzie (1988), I.Vaisman (1994), I.Belko (1997), J.Huebschmann (1999), Itskov, Karasev i Vorobjev (1999), L.Fernandes (2000), M.Crainic (2001) a także Moore i Schochet (1988) i moje wcześniejsze z 1991 i 1993r. Homomorfizm h_(L,A) został porównany z wcześniejszymi konstrukcjami, w tym np. z trzema innymi homomorfizmami jakie pojawiają się przy badaniu rozszerzeń regularnych algebroidów Liego, a także z G-equivariantnym homomorfizmem dla rozszerzeń wiązek głównych.

Drugie (egzotyczne) klasy charakterystyczne regularnych algebroidów Liego [23], [27], [37]

Praca [23] pokazuje algebroidową naturę tzw. płaskich klas charakterystycznych wiązek głównych z zadaną redukcją (P,P',λ), tzn. że odpowiedni homomorfizm charakterystyczny Kambera-Tondeura Δ_#(P,P',λ): H(g,H ) ® H (M) jest niezmiennikiem algebroidowym. Pokazane jest to w następujący sposób. Skonstruowany jest homomorfizm algebr Δ_#(A,B,λ):H(g,B)® H(E) dla układu (A,B,λ)gdzie A,B są regularnymi algebroidami Liego nad rozmaitością sfoliowaną (M,E), BÌ A i λ jest płaską koneksją w A. Algebra H(g,B) jest odpowiednikiem algebry H(g,H) relatywnych kohomologii algebry Liego g względem podgrupy Liego H i składa się z klas kohomologii (względem odpowiedniej różniczki) cięć wiązki Λ(g/h)^* które są niezmiennicze względem naturalnej reprezentacji podalgebroidu Liego B. Algebroidową naturę klasycznych płaskich klas charakterystycznych pokazuje twierdzenie:

Twierdzenie [23. Tw. 6.1] Jeśli podwiązka główna P' jest spójna to istnieje izomorfizm algebr k: H(g,H ) ® H(g,A(P')) który utożsamia oba charakterystyczne homomorfizmy dla układu (P,P', λ) i dla jego algebroidowego odpowiednika (A(P),A(P'),λ).

(Koneksje w P i w jego algebroidzie A(P) są w odpowiedniości bijektywnej)

Pokazane są podstawowe własności homomorfizmu charakterystycznego Δ_#(A,B,λ), jego funktorialność (Tw. 4.3) oraz jego homotopijną niezależność:

Twierdzenie [23. Tw. 5.5] Jeżeli podalgebroidy Liego B₀ i B₁ są homotopijne to istnieje izomorfizm algebr α: H(g,B₀) ® H(g,B₁) utożsamiający homomorfizmy charakterystyczne dla układów (A,B₀,λ) i (A,B₁,λ).

Homomorfizm charakterystyczny Δ_#(A,B,λ) został użyty do badania TC-foliacji lewych kozbiorów grupy Liego G względem niedomkniętej podgrupy Liego HÌ G wykorzystując tranzytywny algebroid Liego A(G,H) tej foliacji oraz jego podalgebroidy Liego i płaskie koneksje generowane przez pewne podalgebry Liego (Lemat 8.3 i 8.4). W przypadku zwartej grupy Liego G podane są przykłady z nietrywialnym homomorfizmem charakterystycznym (Tw. 8.10 i konkluzja po tym twierdzeniu).

Praca [27] poszerza teorię Kambera-Tondeura drugich klas charakterystycznych wiązek głównych sfoliowanych zaopatrzonych w redukcję na regularne algebroidy Liego pokazując algebroidową niezmienniczość egzotycznych klas charakterystycznych częściowo-płaskich. W części I określono i zbadano algebrę Weila Wg wiązki algebr Liego g stowarzyszonej z regularnym algebroidem Liego A. Algebra Weila Wg składa się z cięć niezmienniczych wszystkich wiązek (Wg)^k,2l = Λ^kg^*ÄV^lg^* . Wprowadzona zmiana zmiennych [Proposition 5.1] (zaproponowana dla klasycznego przypadku przez G.Andrzejczaka) umożliwiła przejrzyste dowody istnienia podstawowych operatorów i ich własności w algebrze Weila w algebroidowym kontekście. W części II pokazano najpierw Tw. Frobeniusa dla poddystrybucji a dalej określono obciętą relatywną algebrę Weila cięć niezmienniczych W(g,h)_l,I dla wiązki algebr Liego g relatywnie do podwiązki algebr Liego h, niezmienniczość jest określona względem reprezentacji podalgebroidu Liego B o stowarzyszonej wiązce algebr Liego h. Głównym celem jest udowodnienie istnienia i własności homomorfizmu charakterystycznego Δ_{#(A,B,λ,q' )}:H(W(g,h)_q',I ) ® H (E) gdzie A,B są regularnymi algebroidami Liego nad rozmaitością sfoliowaną (M,E), BÌ A, i λ jest płaską częściową koneksją w A nad poddystrybucją E'ÌE, q' ≥ rank(E/E'). Algebroidową naturę klasycznych egzotycznych częściowo płaskich klas charakterystycznych pokazuje twierdzenie Tw 14.1 które przy jedynym założeniu o spójności przestrzeni totalnej zadanej redukcji P'ÌP pokazuje istnienie izomorfizmu algebr k: H(W(g,H)_q' ) ® H(W(g,h)_q',I ) utożsamiającego klasyczny i algebroidowy homomorfizm. Istnienie izomorfizmu k wymaga użycia Tw. 20.2 o cięciach niezmenniczych nad R´M do dowodu którego użyte jest specjalnie w tym celu podane i udowodnione twierdzenie 15.1 o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania pewnego układu równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu z parametrami.

Praca [37] jest zamówioną przez czasopismo pracą przeglądowo-problemową dotyczącą klas charakterystycznych pierwszych i drugich dotyczących algebroidów Liego. Praca uwypukla fakt, że właściwym podejściem do algebroidowej teorii klas charakterystycznych nie jest adaptacja klasycznej teorii wielomianów niezmienniczych dla jednej grupy czy algebry Liego i pewnej jej reprezentacji i enumeratywne wyliczenie klas charakterystycznych lecz studiowanie wiązki wielomianów i jej niezmienniczych cięć. Rozdział 1 omawia między innymi prace [20], [24] oraz rezultaty Belko, Fernandesa, Huebschmana i innych. Drugi rozdział jest dość szczegółową zapowiedzią pracy jeszcze nie opublikowanej dotyczącej unifikacji egzotycznych płaskich klas charakterystycznych. Unifikacja dotyczy dwu teorii tych klas: dla regularnych algebroidów Liego z pracy [23] i teorii M.Crainica (2003). Podany jest homomorfizm charakterystyczny dla układu (A,B,Ñ) gdzie (A,B), BÌA, jest parą regularnych (w szczególności tranzytywnych) algebroidów Liego nad tą samą rozmaitością sfoliowaną (M,F) zaś Ñ:L®A jest L-koneksją w A, L jest tu dowolnym nieregularnym na ogół algebroidem Liego. Gdy L=F otrzymujemy przypadek rozważany w [23] zaś w przypadku tranzytywnym gdy A jest algebroidem Liego wiązki wektorowej i B jej riemannowskiej redukcji otrzymujemy przypadek na ogól równoważny z teorią Crainica (czasami otrzymuje się jedną klasę charakterystyczną więcej niż przewidział Crainic który te klasy po prostu enumeratywnie wypisał). Gdy natomiast L=A i Ñ=id to otrzymuje się uniwersalny homomorfizm charakterystyczny dla pary (obiekt, pod-obiekt) w kategorii regularnych algebroidów Liego który faktoryzuje homomorfizmy charakterystyczne dla wszystkich płaskich koneksji. Ma to swój odpowiednik dla wiązek głównych [Tw. 2.7]. W przypadku trywialnym algebroidów nad jednopunktową rozmaitością (czyli dla algebr Liego) otrzymuje się w ten sposób (z dokładnością do znaku) znany homomorfizm charakterystyczny Koszula k^#: H(g/h) ® H(g) badany np. przez Greub, S. Halperin, R. Vanstone, w ich monografii "Connections, Curvature, and Cohomology", Vol.III, Academic Press, 1976. Dla homomorfizmu uniwersalnego ważnym jest pytanie o jego różnowartościowość, a nie o jego nietrywialność.

Całka włóknista w regularnych algebroidach Liego i jej zastosowania, [22], [24], [25], [28], [29], [38].

W pracy [22] idea całki włóknistej w zorientowanej wiązce jest zaadoptowana do regularnych algebroidów Liego. Dla regularnego algebroidu Liego A o ciągu Atiyaha 0®g®A®F®0 i elementu objętości ε stowarzyszonej wiązki algebr Liego g określony jest operator całkowania włóknistego [Def. 4.1.1] ò:Ω(A) ® Ω(F).

Twierdzenie [22, Tw. 5.2.1] Operator całki włóknistej ò:Ω(A) ® Ω(F) komutuje z rózniczkowaniami zewnętrznymi (określając operator na kohomologiach) wtedy i tylko wtedy gdy (a) algebry Liego izotropii g_|x są unimodularne, (b) cięcie ε jest niezmienniczo zorientowane względem wewnętrznej reprezentacji.

Algebroidy Liego spełniające te dwa postulaty (a) i (b) nazywamy algebroidami Liego unimodularnymi niezmienniczo-zorientowanymi. Klasy takich tranzytywnych algebroidów Liego są podane zarówno w klasie algebroidów całkowalnych jak i niecałkowalnych. Np. algebroid Liego G-wiązki głównej dla zwartej (i niespójnej na ogół) grupy Liego G takiej, że det(Ad_Ga)=+1 dla każdego aÎG jest niezmienniczo zorientowany, W zakresie nietranzytywnych algebroidów Liego pochodzących od rozmaitości Poissona istnieją ważne przykłady.

Twierdzenie [22, Tw. 6.2.7] Algebroid Liego T^*M regularnej rozmaitości Poissona M nad foliacją kowymiaru 1 jest niezmienniczo zorientowany wtedy i tylko wtedy gdy foliacja charakterystyczna jest R-foliacją Liego.

Praca [24] dotyczy koneksji w regularnych rozmaitościach Poissona nad R-foliacjami Liego. Algebroid Liego takiej rozmaitości ma jednowymiarowe algebry izotropii. Lokalna postać koneksji i jej krzywizna są otrzymane. Gdy dodatkowo rozmaitość Poissona ma wymiar 3, korzystając z operatora całki włóknistej i ciągu Gysina, określona jest tzw. klasa Eulera rozmaitości Poissona (leżąca w drugiej grupie kohomologii tangentialnych dla foliacji charakterystycznej), oraz indeks lokalnej płaskiej koneksji z osobliwością wzdłuż zamkniętej transwersali. Indeksem jest w tym przypadku pewna funkcja bazowa dla foliacji charakterystycznej. Celem jest Tw. 3.5 które jest wersją klasycznego twierdzenia Eulera-Poincaré-Hopfa o niezależności sumy indeksów od wyboru koneksji z osobliwościami.

Twierdzenie [24, Tw. 3.5]. Jeśli M jest 3-wymiarową zwartą zorientowaną rozmaitością Poissona nad R-foliacją Liego F o zwartych liściach, N¹,...,N^k są rozłącznymi zamkniętymi transwersalami i σ jest płaską koneksja w algebroidzie Liego T^*M określoną poza danymi transwersalami (taka koneksja zawsze istnieje) to całka z klasy Eulera algebroidu Liego T^*M jest równa iloczynowi tangentialnej klasy orientacji foliacji F i sumy indeksów σ wzdłuż transwersal Nⁱ.

Rezultaty dla algebroidów tranzytywnych i innych algebr izotropii znajdują się w pracy [38].

Praca [28] uogólnia główny rezultat z pracy [24] na szerszą kategorię regularnych algebroidów Liego nad R-foliacjami Liego. Metody i idee dotyczące wiązek sfer są zaadoptowane do płaskich koneksji: określone i badane są takie pojęcia jak klasa kohomologii płaskiej koneksji, klasa różnicy płaskich koneksji itp.

Praca [25] bada tzw. sferyczne algebroidy Liego, t.j. takie tranzytywne unimodularne niezmienniczo-zorientowane algebroidy Liego dla których algebra Liego izotropii jest sferyczna w tym sensie, że jej kohomologie są izomorficzne z kohomologiami sfery tego samego wymiaru co algebra Liego. W pracy jest pokazane (korzystając z formuły Hochschilda-Serra dla kohomologii algebr Liego), że jedynymi takimi algebrami Liego są R, sl(2,R) i sk(3,R) [Prop. 2.1]. Dla sferycznych algebroidów Liego kohomologie jądra całki włóknistej są izomorficzne z kohomologiami bazy [Tw. 2.1] dzięki czemu określa się ciąg Gysina i klasę Eulera. Warunki równoważne znikaniu klasy Eulera są podane [Prop. 3.2]. Klasa Eulera jest obliczona za pomocą homomorfizmu Cherna-Weila badanego algebroidu Liego [Tw. 4.2 i 4.3] i wykorzystana do obliczenia algebry kohomologii badanego algebroidu Liego [Tw. 5.3]. Jest zauważone, że tak określona klasa Eulera nie jest niezmiennikiem algebry kohomologii badanego algebroidu i nie ma związku z naturalną charakterystyką Eulera-Poincaré [Uwaga 5.1].

Praca [29] bada algebrę kohomologii dowolnego tranzytywnego unimodularnego niezmienniczo-zorientowanego algebroidu Liego nad zorientowaną (nie zwartą na ogół) rozmaitością wykorzystując operator całki włóknistej. Pokazane jest na początku, że górna grupa kohomologii o zwartych nośnikach takiego algebroidu Liego jest nietrywialna [Wniosek 2.2]. (Uwaga: później w pracy [35] pokazano, że są to jedyne takie tranzytywne algebroidy Liego) Głównym celem jest Tw. 6.5 mówiące, że homomorfizm Poincaré jest izomorfizmem. Izomorfizm ten jest zinterpretowany w języku różnych kategorii różniczkowych z których działa funktor Liego w kategorię algebroidów Liego (w języku wiązek głównych, niedomkniętych podgrup Liego oraz TP-foliacji). Do tego celu pokazane jest twierdzenie 6.10 mówiące, że dla dowolnej TC-foliacji (M,F) algebra form różniczkowych algebroidu Liego A(M,F) tej foliacji i algebra F-bazowych form różniczkowych są izomorficzne. W ostatnim rozdziale podane są zastosowania dualności Poincaré do algebroidów Liego nad nieorientowalnymi rozmaitościami i nad zwartymi rozmaitościami. Badana jest charakterystyka Eulera-Poincaré i określona jest sygnatura tranzytywnych algebroidów Liego.

Praca [38] zamyka rezultaty otrzymane w ramach grantu KBN PB.173/PO3/97/13. W jego ramach powstały prace [22], [24], [25], [29] i [38]. Badane są płaskie koneksje o skończonej ilości izolowanych osobliwościach w pewnych tranzytywnych algebroidach Liego o "sferycznych" algebrach izotropii (patrz praca [22] ) którymi są tylko R, sl(2,R) i sk(3,R). Dla algebroidów Liego o algebrze izotropii R nad rozmaitością 2-wymiarową oraz dla sl(2,R) lub sk(3,R) algebroidów Liego na rozmaitości 4-wymiarowej każdej izolowanej osobliwości płaskiej koneksji przyporządkowana jest liczba zwana indeksem (w przypadku R –algebroidów Liego może nimi być każda liczba rzeczywista). Liczba te (Def. 3.1) określona jest przy pomocy klasy różnicy tej osobliwej koneksji i dowolnej innej płaskiej koneksji bez osobliwości w tym punkcie. Uwidacznia się tu pewien analogon z cięciami wiązek sfer czy indeksem osobliwego pola wektorowego. Formuły całkowe obliczające indeks są podane. Głównym celem jest Tw. 3.3 (typu twierdzenia Eulera-Poincaré-Hopfa) orzekającego, że suma indeksów płaskiej koneksji w punktach osobliwych pomnożona przez klasę orientacji rozmaitości bazowej (założona jest jej zwartość i zorientowanie) jest równa klasie Eulera algebroidu Liego, określonej w pracy [25].

Lokalnie konforemne symplektyczne struktury [31], [36]

W pracy [31] badane są lokalnie konforemne symplektyczne (w skrócie l.c.s.) struktury przy pomocy algebroidów Liego. Każda taka struktura na rozmaitości M definiuje tranzytywny algebroid Liego TM´R z trywialną jedno-wymiarową stowarzyszoną wiązką algebr Liego g=M´R. Pokazane jest w pracy [Tw. 2.3], że taki algebroid Liego na zwartej zorientowanej rozmaitości jest niezmienniczo-zorientowany wtedy i tylko wtedy gdy górna grupa kohomologii o rzeczywistych współczynnikach jest nietrywialna (co jest tutaj także równoważne dualności Poincaré). Wnioskiem jest, że warunki te dla l.c.s. struktury równoważne są temu, że struktura ta jest globalnie konforemną symplektyczną strukturą [Wniosek 2.1].

W części 1 pracy [36] jest pokazane że pewne podstawowe pojęcia związane z l.c.s. strukturą na dowolnej rozmaitości (na ogół nie zwartej i nie orientowalnej) takie jak globalność czy konforemna równoważność można równoważnie wyrazić za pomocą pojęć algebroidu Liego tej struktury. W części 2 przedstawione jest uogólnienie l.c.s. struktur do tzw. g -l.c.s. struktur, gdzie g jest dowolna algebrą Liego (gdy g = R otrzymujemy l.c.s. strukturę). Przez g -l.c.s. strukturę rozumiemy układ (Ñ,W) w którym Ñ jest pochodną kowariantną w trywialnej wiązce wektorowej TM´ g a W jest 2-formą na M o wartościach w g przy czym naturalny nawias Liego w cięciach wiązki TM´ g określa strukturę algebroidu Liego. Niezdegenerowanie W rozumiemy w sensie słabym. Globalność zaś gdy algebroid stowarzyszony jest niezmienniczo zorientowany. Warunki równoważne globalności są otrzymane, wśród nich jest warunek znikania klasy modularnej tego algebroidu Liego [Tw. 2.2]. Warunek ten zawsze zachodzi gdy algebra Liego g jest półprosta [Tw. 2.3]. Konforemna równoważność g-l.c.s. struktur jest rozumiana jako pewien rodzaj izomorfizmu między stowarzyszonymi z tymi strukturami algebroidami Liego. Warunki równoważne są podane. Problem istnienia rozpada się na istnienie g-l.c.s struktur w każdej klasie izomorficznych algebroidów Liego, przy czym dowolny algebroid Liego o przestrzeni totalnej A=TM´ g jest izomorficzny z algebroidem Liego g-l.c.s struktury wtedy i tylko wtedy gdy w A istnieje koneksja o niezdegenerowanym tensorze krzywizny. Udowodniono że lokalnie problem ma zawsze rozwiązanie.

Sygnatura tranzytywnych unimodularnych algebroidów Liego [32], [33].

Praca [32] krótko bez dowodów wprowadza w zagadnienie obliczania sygnatury tranzytywnego unimodularnego niezmienniczo-zorientowanego algebroidu Liego przy pomocy ciągu spektralnego kompleksu Čecha-de Rhama algebroidu Liego. Praca zapowiada konstrukcję przykładu algebroidu Liego o nieskończonej monodromii i nietrywialnej sygnaturze (w oparciu o pewien przykład wiązki wektorowej z pracy Gromova, która będzie wiązką abelowych algebr izotropii algebroidu Liego) jak i twierdzenie o zerowej sygnaturze dla skończonej monodromii.

Praca [33] udowadnia twierdzenie typu twierdzenia Leraya dla tranzytywnych unimodularnych niezmienniczo-zorientowanych algebroidów Liego mówiące o zbieżności ciągu spektralnego kompleksu Čecha-de Rhama algebroidu Liego i oblicza jego pierwszy i drugi term [Tw. 6 i 7] przy pomocy presnopa Leraya kohomologii algebroidu Liego, lokalnie stałego na dobrym pokryciu, o wartościach w algebrze kohomologii algebry izotropii g badanego algebroidu Liego. Następnie przedstawiony jest mechanizm badania sygnatury przy pomocy ciągów spektralnych, mianowicie wykazane jest bardzo ogólne twierdzenie (wzorowane częściowo na bardzo szczególnym przykładzie z pracy Cherna, Hirzbrucha, Serra z 1957 r "On the index of a fibered manifold", Proc. AMS) dotyczące ciągu spektralnego DG-algebry z malejącą filtracją: jeśli drugi term "żyje" w skończonym prostokącie i jest algebrą Poincaré a filtracja spełnia pewien naturalny warunek regularności, to wszystkie termy oraz algebra kohomologii danej algebry są algebrami Poincaré z tą samą sygnaturą [Tw. 9 i 11]. Wnioskiem jest Tw. Cherna-Hirzbrucha-Serra dla tranzytywnych algebroidów Liego:

Twierdzenie [33, Tw. 13] Dla tranzytywnego unimodularnego niezmienniczo-zorientowanego algebroidu Liego na zwartej zorientowanej rozmaitości M dla którego reprezentacja monodromii presnopa Leraya jest trywialna to drugi term ciągu spektralnego jest równy H(M)Ä H(g ) stąd jego sygnatura jest równa 0, co pociąga zerową sygnaturę algebroidu Liego.

Podane są klasy algebroidów Liego o trywialnej monodromii (a) na jednospójnej rozmaitości, (b) gdy algebra izotropii jest typu B_l, C_l, E₇, E₈, F₄, G₂, (c) pewne przykłady algebroidów Liego TC-foliacji.

Kohomologie algebroidów Liego [20], [35].

Praca [20] dotyczy kohomologii niezmienniczych względem działania grupy Liego G na regularny algebroid Liego.

Twierdzenie [20, tw. 21]. Jeżeli T:G´A®A jest działaniem zwartej spójnej grupy Liego na regularny algebroid Liego, które rozszerza się do homomorfizmu algebroidów Liego TG´A®A , wówczas kohomologie niezmiennicze są izomorficzne z całą algebrą kohomologii.

Przykłady na gruncie kohomologii tangentialnych oraz na gruncie wiązek wektorowych są podane. W tej pracy znajduje się pojęcie homotopii między homomorfizmami algebroidów Liego.

Praca [35] wykorzystuje i rozwija technikę ciągów spektralnych Hochschilda-Serra (do badania kohomologii o współczynnikach) którą do algebroidów Liego wprowadził K.Mackenzie. Celem jest zbadanie pewnych dwuliniowych odwzorowań w kohomologiach i ich niezdegenerowanie. Praca podaje pewien uniwersalny mechanizm do badania niezdegenerowania takich odwzorowań przy pomocy ciągów spektralnych (co wzmacnia Tw. 11 z pracy [33] )

Twierdzenie [35, Tw. 4.4] Jeżeli dane są trzy DG-algebry z regularnymi filtracjami ¹A, ²A i ³A dla których drugie termy żyją w skończonym prostokącie przy czym ³E₂ ^top =R oraz dane jest 2-liniowe odwzorowanie·: ¹A ´ ²A® ³A zachowujące filtracje, gradacje i zgodne z różniczkami dla którego indukowane odwzorowanie na drugich termach ciągów spektralnych ¹E₂ ´ ²E₂ ® ³E₂ jest niezdegenerowane, to niezdegenerowane jest też odwzorowanie indukowane z ·: ¹A ´ ²A® ³A w kohomologiach.

Tą techniką badana jest tzw. reprezentacja Evensa-Lu-Weinsteina w przypadku tranzytywnych algebroidów Liego którą (aby badać także przypadek algebroidów nad nieorientowalną rozmaitością) mnożymy tensorowo przez reprezentację kanoniczną w wiązkę orientacji. W pracy pokazane jest, że

(1) górna grupa kohomologii o zwartych nośnikach i współczynnikach w tej reprezentacji jest nietrywialna,

(2) mnożenie klas kochomologii rzczywistych i klas o nośnikach zwartych o współczynnikach w tej reprezentacji jest niezdegenerowane,

(3) reprezentacja te jest jedyną z dokładnością do izomorfizmu reprezentacją liniową, dla której górna grupa kohomologii o zwartych nośnikach i współczynnikach w tej reprezentacji jest nietrywialna.

Kluczową rolę odgrywa istnienie pewnej płaskiej koneksji (35, str. 687) w wiązce algebr kohomologii algebr izotropii oraz pewne otrzymane uogólnienie lematu Cherna-Hirzebrucha-Serra i jego zastosowanie do kohomologii algebr Liego [Lemat 3.1 i Tw. 3.5].

Wśród wniosków otrzymujemy pełną charakteryzację tranzytywnych algebroidów Liego na rozmaitości orientowalnej dla których algebra kohomologii rzeczywistych spełnia dualność Poincaré. Są to te i tylko te algebroidy Liego dla których górna grupa kohomologii o zwartych nośnikach jest niezerowa co równoważne jest też z tym, że algebroid Liego jest unimodularny niezmienniczo-zorientowany. Pokazuje to, że klasa tych algebroidów Liego badana w pracy [29] pod kątem dualności Poincaré jest klasą maksymalną.

W przypadku algebroidów nietranzytywnych twierdzenia powyższe o reprezentacji E-L-W nie zachodzą. Podany jest przykład algebroidu transformacji dla którego żadna liniowa reprezentacja nie określa niezdegenerowanego mnożenia klas kohomologii [Prop. 7.20] a także pokazane jest że warunek nietrywialności górnej grupy kohomologii nie charakteryzuje jednoznacznie reprezentacji (istnieją dwie nieizomorficzne reprezentacje dla których te grupy są nietrywialne [Prop. 7.21]).

Prace pozostałe [30], [34].

Klasyfikacja homotopijna endomorfizmów [30].

Praca [30] dotyczy grupy p(A) klas homotopijnych endomorfizmów algebroidu Liego. W pracy podana jest homotopijna klasyfikacja ostrych homomorfizmów trrywialnego algebroidu Liego TM´ g [Tw. 3.2] a następnie obliczona jest grupa p(TM´ g) przy pomocy grupy kohomologii H¹(M) i grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych [Tw. 4.1].

Lokalne gładkie struktury dla relacji równoważności [34].

Są dwie koncepcje lokalnego grupoidu Liego dla relacji równoważności (charakteryzujące regularne foliacje), pierwsza pochodząca od J.Pradinesa [1966] była wyprecyzowana w pracy R.Browna i O.Mucuka [1996] (pod nazwą "locally Lie groupoid"), zaś druga o istotnie prostszych aksjomatach (pod nazwą "nice structure") -- w pracy [8]. Praca [34] udowadnia równoważność tych aksjomatów a także pokazuje znaczenie tych pojęć w zagadnieniu istnienia map na nietranzytywnych grupach dyfeomorfizmów.