Jan Kubarski

Prof. PŁ.

 

Autoreferat

Dotyczący rezultatów naukowych przed habilitacją

 

Prace naukowe dotyczą globalnych zagadnień geometrii różniczkowej, w tym zastosowaniom przestrzeni różniczkowych Sikorskiego, grupoidów i algebroidów Liego, relacji równoważności, foliacji osobliwych i klas charakterystycznych.

 

Publikacja z rezultatów pracy magisterskiej [2]

 

Praca [2] obejmuje część rezultatów z własnej pracy magisterskiej (z roku 1974) dotyczącej przestrzeni różniczkowych Sikorskiego. Główny rezultat pracy [2] – otrzymany niezależnie przez A.Kowalczyka – orzeka, że:

Twierdzenie. Dla podzbioru  AÌ Rn zaopatrzonego w naturalną strukturę różniczkową przestrzeni Sikorskiego indukowaną ze struktury  C¥ (Rn) wymiar przestrzeni stycznej do A w punkcie pÎA jest równy najmniejszemu z wymiarów hiperpowierzchni która zawiera pewne otocznie punktu p w A.

W konkluzji otrzymuje się  rezultat dotyczący klasy D0   przestrzeni różniczkowych,  wprowadzonej przez P.Walczaka.

Twierdzenie. Podprzestrzeń różniczkowa przestrzeni różniczkowej klasy D0  jest także klasy D0 .

 

 

 

Publikacje z rezultatów tezy doktorskiej (dotyczące odwzorowania wykładniczego na grupoidach Liego) [1], [3], [4]. [7].

 

Praca [1] jest konferencyjnym referatem w którym

(a) przedstawiono w zarysie historycznym problematykę grupoidów Liego uwypuklając kolejno między innymi 1) grupoid Ehresmanna wiązki głównej (Ch.Echresmann 1950),  2) związki między grupoidem k-jetów lokalnych dyfeomorfizmów i wiązką k-jetów pól wektorowych (P.Libermann 1958), 3) grupoid Liego izomorfizmów liniowych między włóknami wiązki wektorowej (Ngo Van Que 1967), 4) algebroid grupoidu Liego (J.Pradines 1967),  5) odwzorowanie wykładnicze na grupoidach Liego (A.Kumpera 1971);

(b) przedstawiono rezultaty własnej pracy doktorskiej (z roku 1977) dotyczące systematycznego badania odwzorowania wykładniczego na grupoidach Liego obejmujące m.in. współrzędne wykładnicze i ich wykorzystanie do badania związków między podgrupoidami Liego a podalgebroidami Liego (rezultaty tego typu były niezależnie przedstawione przez K.Mackenziego w książce "Lie groupoides and Lie algebroids in differential Geometry",   Cambridge, 1987).

 

Prace [4] i [7] dotyczą własności odwzorowania wykładniczego na grupoidach Liego. Wprowadzone zostały współrzędne wykładnicze i pokazane jego podstawowe własności (analogiczne jak w przypadku grup Liego). W zastosowaniach otrzymano jednolite podejście do szeregu zagadnień (niektóre z nich rozważane były wcześniej przez Ngo Van Que) występujących przy badaniu relacji między podgrupoidami Liego i podalgebroidami Liego obejmującymi m.in. pierwsze i drugie Twierdzenie Liego (z terminologii grup Liego), charakteryzację podalgebroidu Liego danego podgrupoidu Liego przy pomocy cięć, czy obrazy i przeciwobrazy przez homomorfizmy grupoidów i algebroidów Liego.

 

Praca [3] wykorzystuje odwzorowanie wykładnicze do badania topologicznych własności podgrupoidów Liego: pokazane jest, że podgrupoid Liego ma topologię indukowaną wtedy i tylko wtedy gdy jest podzbiorem domkniętym. W dowodzie tego faktu analogiczne twierdzenie dotyczące grup Liego nie jest wykorzystywane.

 

Zastosowania przestrzeni różniczkowych [5], [6], [9].

 

Praca [5] dotyczy modułów pól liniowych na przestrzeni rózniczkowej wprowadzonych przez R.Sikorskiego. Wprowadzone zostało pojęcie różniczki zupełnej wyższego rzędu (dla rzędu 1 odpowiada to pochodnej kowariantnej) oraz ciągu dokładnego modułu jetów związanego z modułem pól liniowych.  Przy założeniu pewnego warunku algebraicznego "*k" (z Tw. 3.4.1) spełnionego dla modułów różniczkowych (z lokalną bazą) oraz dla modułów nad przestrzenią różniczkową klasy D0  udowodniona jest równoważność istnienia  różniczki zupełnej z roszczepieniem ciągu dokładnego modułu jetów.

 

Praca [6] z roku 1986 (konferencyjny wykład) jest pierwszą pracą dotyczącą klas charakterystycznych dla grupoidów regularnych nad foliacją. Rozważane są tu podgrupoidy FF grupoidu Liego F dla których początek i koniec leżą na tym samym liściu danej regularnej foliacji F zadanej na rozmaitości jednostek. Podgrupoid taki na ogół nie jest podrozmaitością, ale posiada zawsze strukturę przestrzeni różniczkowej Sikorskiego (która jest w tym przypadku klasy D0 ). Grupoid taki posiada swój algebroid Liego. W pracy podano konstrukcję  homomorfizmu charakterystycznego Cherna-Weila dla FF  oraz uogólnienie Twierdzenia Botta o znikaniu dla flagi foliacji otrzymane za pomocą powyższego homomorfizmu Cherna-Weila dla odpowiedniego podgrupoidu nad foliacją.

 

Praca [9] wprowadza grupoidy gładkie w kategorii przestrzeni różniczkowych Sikorskiego (założone jest, że jednostki tworzą rozmaitość). Szczególnymi przykładami są grupoidy FF z pracy [6]. Z takim ogólnym grupoidem gładkim związany jest obiekt infinitezymalny który nie musi być wiązką wektorową (w świetle nowszych badań można by związać z tym infinitezymalnym obiektem pewną algebrę Lie-Rineharta). Jeśli jest nim wiązka wektorowa wówczas jest to algebroid Liego a grupoid gładki  nazywany jest grupoidem typu Pradinesa.

Dowolna relacja równoważności RÌM´M na rozmaitości  M tworzy grupoid gładki w kategorii przestrzeni różniczkowych. W pracy jest udowodnione twierdzenie podające warunki konieczne i wystarczające na to, aby  R  był grupoidem typu Pradinesa (Tw. 4.5). Jednym z warunków równoważnych jest: rodzina łukowo-spójnych składowych klas abstrakcji relacji R jest foliacją regularną, drugi warunek równoważny to istnienie pewnej "ładnej" struktury będącej podrozmaitością WÌR zawierającą diagonal, dla której rzut na pierwszą oś pr1: W®M jest submersją i spełniającą pewne dodatkowe dwa warunki (iv') i (v'). Twierdzenie to wskazuje na ścisły związek [w pewnym sensie równoważność] między pewną wersją tw. Frobeniusa a pewnym uogólnieniem Tw. Godementa o dzieleniu (Uwaga 4.14). [Istnienie podrozmaitości W  udowodnione jest poprzez wykorzystanie "nice covering" dla foliacji, stąd termin].

Dalej wprowadzone jest pojęcie ładnej struktury ["nice structure"] dla grupoidu gładkiego w kategorii przestrzeni rózniczkowych w postaci podrozmaitości WÌF  obejmującej podrozmaitość jednostek i spełniającej analogiczne postulaty. Pojęcie to służy do określenia ładnego grupoidu ["nice groupoid"] jako grupoidu w kategorii przestrzeni rózniczkowych  dla którego istnieją ładne struktury WÌF  i W0ÌRF , gdzie RFÌM´M  jest grupoidem kanonicznej relacji równoważności na rozmaitości jednostek wyznaczonej przez F, takimi, że (a,b):W®W0 jest submersją. Jednym z celów pracy jest udowodnienie poniższego twierdzenia które uogólnia klasyczne Tw. Frobeniusa w części orzekającej, że podwiązka wektorowa wiązki stycznej dla której moduł cięć jest zamknięty na nawias Liego jest wiązką całkowalną.

 

Twierdzenie [9, Tw. 4.29] Jeśli F jest grupoidem typu Pradinesa na rozmaitości parazwartej takim, że

            (i) F jest klasy D0 ,

            (ii) grupoid RF  kanonicznej relacji równoważności jest typu Pradinesa,

            (iii) kanoniczne odwzorowania Fx®(RF  )x indukowane przez target są submersjami,

wtedy F jest ładnym grupoidem.

 

Praca zawiera także elementarny dowód Tw. Waliszewskiego orzekającego, że jeśli iloczyn kartezjański dowolnych dwu przestrzeni różniczkowych Sikorskiego jest rozmaitością, to każda z nich jest rozmaitością także.

 

Uogólnienie Twierdzenie Godementa o dzieleniu [8]

 

Klasyczne twierdzenie Godementa o dzieleniu charakteryzuje relacje równoważności  R  na rozmaitości  M  dla których  M/R  jest rozmaitością i rzutowanie M® M/R   jest submersją.  Charakteryzacja jest następująca:

(Ÿ) RÌ M´M jest podrozmaitością  i rzutowanie pr1:R®M jest submersją.

Dla takiej relacji równoważności mamy:

(ŸŸ) każda klasa abstrakcji tej relacji ma przeliczalną ilość łukowo-spójnych składowych które łącznie tworzą regularną foliacje.

W pracy [8] otrzymane jest uogólnienie twierdzenia Godementa (twierdzenie 2) które w terminach relacji R  (w "duchu" własności (Ÿ) ) charakteryzuje wszystkie relacje równoważności o dla których zachodzi  (ŸŸ). Różnica w stosunku do warunku (Ÿ) jest taka, że istnieje struktura rozmaitości na pewnym podzbiorze W Ì R zawierającym diagonal, dla którego rzutowanie na pierwszą oś jest submersją i zachodzą pewne dodatkowe warunki.

Jako zastosowanie otrzymany jest nowy dowód klasycznego twierdzenia Godementa oraz podana jest pełna charakteryzacja relacji równoważności dla której klasy abstrakcji są spójnymi podrozmaitościami i łącznie tworzą regularną foliację (twierdzenie 3).

 

Algebroid tranzytywny wiązki głównej i niedomkniętej podgrupy Liego [10], [11], [13], [16].

 

Praca [10] szczegółowo wprowadza trzy równoważne definicje algebroidu Liego wiązki głównej P(M,G).

            (1) W oparciu o wiązkę wektorową Atiyaha A(P)=TP/G. Funkcje przejścia dla lokalnych trywializacji są otrzymane (Uwaga 2.2).

            (2) W oparciu o grupoid Liego Ehresmanna PP-1 .

            (3) W oparciu o  wiązkę wektorową  W1(P)´H (Rn ´ g) stowarzyszoną z wiązką główną W1(P) przedłużeń 1-rzędu wiązki P, za pomocą pewnego lewego działania n-wymiarowego przedłużenia 1-rzędu  H=G1n    grupy Liego G na przestrzeń Rn ´ g, gdzie g jest prawą algebrą Liego grupy Liego G.

Naturalne izomorfizmy w kategorii algebroidów Liego między tymi trzema konstrukcjami są podane.

 

 

Praca [11] (konferencyjny wykład) jest skróconą wersją pracy [13].

W pracy [13] pojęcie lokalnego homomorfizmu między wiązkami głównymi jest wprowadzone jako rodzina lokalnie określonych homomorfizmów spełniająca pewne warunki zgodności (Def. 2.1). Każdy homomorfizm algebroidów Liego tych wiązek głównych indukuje tak określony lokalny  homomorfizm wiązek głównych. W związku z tym niezmienniki algebroidu  Liego wiązki głównej są równoważne z niezmiennikami lokalnych izomorfizmów wiązek głównych. Zauważono w pracy, że homomorfizm Cherna-Weila wiązki głównej P ze spójną grupą strukturalną jest niezmiennikiem lokalnych izomorfizmów wiązek głównych a zatem jest niezmiennikiem algebroidu Liego wiązki głównej. Warunek spójności grupy strukturalne okazał się zbędny co pokazano później w pracy  [16].

Dalsza część pracy dotyczy niezmiennika jakim jest stowarzyszona wiązka algebr Liego i pytania: Ile informacji o wiązce głównej jest zawarte w stowarzyszonej wiązce algebr Liego ? W odpowiedzi otrzymano następujące twierdzenia:

 

Twierdzenie. Dla danej wiązki algebr Liego o półprostych włóknach istnieje dokładnie jeden algebroid Liego (z dokładnością do izomorfizmu) o danej stowarzyszonej wiązce algebr Liego.

 

(Uwaga: twierdzenie to okazuje się być wnioskiem z ogólnego twierdzenia klasyfikującego zawartego w książce K. Mackenziego, wspomnianej przy omawianiu pracy [1]).

W konkluzji otrzymujemy:

 

Twiedzenie.  Dwie wiązki główne o półprostych strukturalnych  grupach Liego są lokalnie izomorficzne wtedy i tylko wtedy gdy stowarzyszone wiązki algebr Liego są izomorficzne.

 

W końcu pracy jest pokazane:

            -- Nie istnieje R-wiązka główna której algebroid Liego byłby izomorficzny z algebroidem Liego S1-wiązki Hopfa S3®S2.

            -- Istnieje nietrywialna wiązka główna której algebroid Liego jest trywialny. Jest nią np. nietrywialna Spin3-struktura na rozmaitości RP(5).

 

 

 

Praca [16] dotyczy pewnego wykorzystania algebroidu Liego wyznaczonego przez foliację lewych kozbiorów grupy Liego G przez niedomkniętą podgrupę Liego. Foliacja ta jest transwersalnie zupełna i zgodnie z teorią P.Molino posiada algebroid Liego A(G,H)  nad rozmaitością bazową tej foliacji którą jest tutaj przestrzeń ilorazowa G przez domknięcie H, G/H- . W pracy skonstruowany jest ten algebroid  niezależnie od teorii Molino. Następujące twierdzenia strukturalne dotyczące algebroidu Liego A(G,H) są otrzymane:

            -- stowarzyszona wiązka algebr Liego jest trywialną wiązką abelowych algebr Liego,

            -- jeśli algebroid Liego A(G,H) posiada płaską koneksję to jest trywialny.

Zastosowania algebroidu Liego A(G,H) dotyczą minimalnej domkniętości (w sensie Malceva) podalgebry Liego hÌ g.  

 

Twierdzenie. Jeśli HÌG jest spójną niedomkniętą podgrupą Liego grupy Liego G i h, h¯,   g są algebrami Liego H, domknięcia H¯ i G odpowiednio oraz istnieje podalgebra Liego c Ì g taka, że  that c + h ¯= g, c Ç h ¯= h, wtedy algebroid Liego A(G,H) dopuszcza płaską koneksję i h jest minimalnie domknięta.

 

Jako wniosek otrzymujemy: jeśli  p1(G) jest skończona, to taka podalgebra Liego c  nie istnieje. 

 

Homomorfizm Cherna-Weila regularnego algebroidu Liego [12], [15].

 

Praca [12] jest konferencyjnym referatem omawiającym tranzytywne algebroidy Liego w kierunku określenia homomorfizmu Cherna-Weila. Detale i uogólnienie dla regularnych algebroidów Liego znajdują się w pracy [15].

 

Praca [15] dotyczy określenia i badania homomorfizmu Cherna-Weila regularnego algebroidu Liego i jest podstawą rozprawy habilitacyjnej [17].

Dziedziną skonstruowanego homomorfizmu charakterystycznego Cherna-Weila regularnego algebroidu Liego jest algebra cięć niezmienniczych (względem reprezentacji wewnętrznej algebroidu) symetrycznych potęg wiązki dualnej do stowarzyszonej z algebroidem wiązki algebr Liego. Praca pokazuje, że właściwym podejściem do klas charakterystycznych algebroidów Liego nie jest adaptacja klasycznej teorii elementów niezmienniczych względem reprezentacji grupy Liego w skończenie wymiarową przestrzeń wektorową i wyliczanie odpowiadających im klas kohomologii lecz studiowanie cięć pewnych wiązek wektorowych niezmienniczych względem reprezentacji algebroidu Liego. Ponieważ nie wszystkie tranzytywne algebroidy Liego są całkowalne w tym sensie, że nie są izomorficzne z algebroidami Liego wiązek głównych (Tw. Almeido-Molino charakteryzuje np. te TC-foliacje dla których algebroid Liego jest izomorficzny z algebroidem Liego pewnej wiązki głównej) to znaleziony homomorfizm w kategorii regularnych Liego można stosować do tych kategorii obiektów geometrycznych z których działa funktor Liego w kategorię algebroidów Liego. Poza wiązkami głównymi są to w szczególności TC-foliacje, rozmaitości Poissona czy rozmaitości Jacobiego. W pracy znaleziono rodzinę niecałkowalnych algebroidów Liego o  nietrywialnym homomorfiźmie Cherna-Weila.

 

Twierdzenie. Algebroid Liego A(G,H) niedomkniętej podgrupy Liego HÌ G grupy Liego zwartej, półprosteji  G ma nietrywialny homomorfizm Cherna-Weila. Gdy G jest dodatkowo jednospójna to algebroid Liego A(G,H) jest także niecałkowalny.

 

W pracy podano znaczenie homomorfizmu Cherna-Weila dla TC-foliacji jako przeszkodę do istnienia pewnych dystrybucji co wynika stąd, że pewien rodzaj dystrybucji równoważny jest z płaską koneksją w algebroidzie Liego tej foliacji [Tw. 6.3.5].

 

W przypadku algebroidu Liego A(P) wiązki głównej P homomorfizmy charakterystyczne dla P i dla A(P) są równoważne pod warunkiem spójności przestrzeni totalnej P (grupa strukturalna G wiązki P może nie być spójna) co wzmacnia twierdzenie z pracy [13]. Podstawa do tego faktu jest następująca: w pracy określono reprezentacje wiązki głównej  w wiązkę wektorową oraz cięcia tej wiązki wektorowej niezmiennicze względem danej  reprezentacji. Reprezentacja wiązki głównej w wiązkę wektorową posiada różniczkę – reprezentacje algebroidu Liego w tę wiązkę która posiada swoją przestrzeń cięć niezmienniczych.  W pracy udowodniono twierdzenie (analogiczne do grup Liego), że w przypadku spójnej przestrzeni totalnej wiązki głównej te dwie przestrzenie cięć niezmienniczych są identyczne [Tw. 5.5.3]. Dla reprezentacji wiązki głównej w przestrzeń wektorową przestrzeń jej cięć niezmienniczych jest izomorficzna z przestrzenią wektorów niezmienniczych odpowiadających reprezentacji strukturalnej  grupy Liego we włókno typowe wiązki wektorowej. Stąd otrzymano wspomnianą równoważność homomorfizmów Cherna-Weila dla P i dla A(P).

 

Foliacje osobliwe w sensie Stefana, redukcja aksjomatów [14]

 

W pracy [14] udowodniono posiłkując się twierdzeniem Baire dla lokalnie zwartych przestrzeni, że jeden z aksjomatów definicji osobliwej foliacji, pochodzącej od P.Stefana, wynika z pozostałych. Mianowicie ten, który mówi, że elementy foliacji (którymi są imersyjne podrozmaitości) są tzw. liśćmi względem wszystkich lokalnie spójnych przestrzeni topologicznych.